展開式通常說(shuō)的是二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)式定理又稱牛頓二項(xiàng)式定理，由艾薩克·牛頓提出，用于給出兩個(gè)數(shù)之和的整數(shù)次冪，二項(xiàng)式定理可以推廣到任意實(shí)數(shù)次冪。

(a+b)的n次方展開式

二項(xiàng)式定理來(lái)展開，展開后是一個(gè)n+1項(xiàng)的多項(xiàng)式：

(a+b)n次方＝C(n，0)a(n次方)+C(n，1)a（n-1次方）b（1次方）+…+C（n，r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n，n)b(n次方)(n∈N*)

C(n，0)表示從n個(gè)中取0個(gè)，這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二次展開式，其中的系數(shù)Cnr(r＝0，1，……n)叫做二次項(xiàng)系數(shù)。式中的Cnran-rbr，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開式的第r+1項(xiàng)：Tr+1＝Cnraa-rbr。

說(shuō)明：①Tr+1＝cnraa-rbr是(a+b)n的展開式的第r+1項(xiàng)。r＝0，1，2，……n。它和(b+a)n的展開式的第r+1項(xiàng)Cnrbn-rar是有區(qū)別的。

②Tr+1僅指(a+b)n這種標(biāo)準(zhǔn)形式而言的，(a-b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr。③系數(shù)Cnr叫做展開式第r+1次的二項(xiàng)式系數(shù)，它與第r+1項(xiàng)關(guān)于某一個(gè)(或幾個(gè))字母的系數(shù)應(yīng)區(qū)別開來(lái)。

特別地，在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a＝1，b＝x，則得到公式：(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+Cnrxa+…+xn。

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)

二項(xiàng)式系數(shù)，也稱為組合數(shù)，是數(shù)學(xué)中用于表達(dá)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)。

具體來(lái)說(shuō)，二項(xiàng)式系數(shù)是表達(dá)式(1+x)^n展開后x的系數(shù)，其中n是自然數(shù)。這些系數(shù)表示從n個(gè)元素中選擇k個(gè)元素的方法數(shù)，同時(shí)也表示選擇剩余的n-k個(gè)元素的方法數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是整數(shù)，用于多項(xiàng)式展開中。

二項(xiàng)式定理任意項(xiàng)公式

1、二項(xiàng)式定理：對(duì)于任意正整數(shù)n，都有(a+b)n=Cn0an+Cn1an?1b+?+Cnkan?kbk+?+Cnnbn。這個(gè)式子叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)。

2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)

Tk+1=Cnkan?kbk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)。

注：（1）通項(xiàng)是二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)，而不是第k項(xiàng)。

（2）字母b的指數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同，與a與b的指數(shù)之和為n。

（3）展開式中第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

Cnk與第k+1項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等。

（4）求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，一般要根據(jù)通項(xiàng)公式對(duì)k進(jìn)行討論。

3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即

Cnm=Cnn?m(n=0,1,2,?,n)。

（2）增減性與最大值

增減性：當(dāng)k<n+12時(shí)，Cnk是逐漸增大的；當(dāng)k>n+12時(shí)，Cnk是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cnn2；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cnn?12，Cnn+12。